Spis treści
Wstęp
.............................................................................................................................. 5
1.
Oswoić dowody ......................................................................................................... 7
2.
Indukcja matematyczna ......................................................................................... 11
3.
Ile przekątnych ma
n
-kąt foremny ........................................................................ 15
4.
Ile jest liczb pierwszych? ........................................................................................ 19
5.
Liczb wymiernych jest tyle samo co liczb naturalnych ...................................... 25
q
2
................................................................................... 29
7.
Liczb rzeczywistych jest więcej niż liczb naturalnych ........................................ 35
6.
Niewymierność liczby
8.
Kąty wewnętrzne trójkąta ...................................................................................... 39
9.
Trysekcja kąta metodą Archimedesa .................................................................... 43
10.
Twierdzenie Pitagorasa ........................................................................................ 47
11.
Jak obliczyć wartość sinusa 36° ........................................................................... 51
12.
Twierdzenie sinusów ............................................................................................ 59
13.
Dowód poprawności konstrukcji pięciokąta foremnego ................................ 63
14.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i trójkąty pitagorejskie ...... 69
15.
Szereg odwrotności liczb naturalnych ............................................................... 77
16.
Suma szeregu geometrycznego ........................................................................... 83
17.
Wokół trójkąta Pascala ......................................................................................... 87
18.
Zbieżność szeregu odwrotności silni kolejnych liczb naturalnych ................ 93
19.
Liczba
e
................................................................................................................... 97
20.
Liczba
e
jest niewymierna ..................................................................................101
21.
Suma odwrotności liczb pierwszych jest nieskończona ................................103
22.
Tożsamości trygonometryczne .........................................................................107
23.
Twierdzenie cosinusów ......................................................................................113
24.
Twierdzenie Talesa ..............................................................................................115
25.
Pewna cecha ciągu liczb pierwszych ................................................................119
26.
Reductio ad absurdum
........................................................................................123
27.
Ile liczb naturalnych jest między zerem a jedynką? .......................................129
28.
Pojęcia pierwotne i aksjomaty...........................................................................135
29.
Jak blisko można podejść do liczby
π
? .............................................................139
30.
Liczby algebraiczne i liczby przestępne ............................................................145
Bibliograia
................................................................................................................148
Skorowidz
..................................................................................................................149
4
Wstęp
Książka, którą trzymasz w ręku, może być Twoim biletem wstępu do tej części
matematyki, która większości ludzi, nawet wykształconych, wydaje się niedostęp-
na, a może nawet dziwna czy niepotrzebna. Tematem tej publikacji są bowiem
dowody matematyczne. I jeśli zaczynasz teraz myśleć o tym, żeby jak najszybciej
odłożyć ją na półkę, dowiedz się, że jest ona właśnie dla Ciebie, bo zamieszczone
tu dowody czyta się jak zwykłe opowieści.
Autor postawił sobie za cel (a Ty, Czytelniku, sprawdź, czy mu się to udało) za-
prezentowanie dowodów w formie zrozumiałej dla laika zainteresowanego ma-
tematyką. Książka zawiera przykłady dowodów wprost, nie wprost i dowodów
indukcyjnych. Do jej zrozumienia w zupełności wystarcza znajomość matematyki
na poziomie szkoły ponadgimnazjalnej, a większość rozdziałów jest dostępna
nawet dla gimnazjalistów. Znalazły się tu dowody takich klasycznych twierdzeń
jak twierdzenia o niewymierności liczby 2 i liczby
e
, nieprzeliczalności zbioru
liczb rzeczywistych, twierdzenia sinusów, twierdzenia Pitagorasa, rozbieżności
szeregu harmonicznego, nieskończoności zbioru liczb pierwszych i kilku innych.
Można zatem powiedzieć, że bohaterami tej książki są rozumowania, które mają
nas przekonać o prawdziwości twierdzeń matematycznych, przedstawione jednak
tak, żeby każdy Czytelnik mógł doznać przyjemności ich rozumienia.
5
14.
Twierdzenie odwrotne
do twierdzenia Pitagorasa
i trójkąty pitagorejskie
Twierdzenie Pitagorasa możemy sformułować tak:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości najdłuższego boku tego
trójkąta jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków.
W tak zapisanym twierdzeniu wyraźnie rozpoznajemy jego dwie główne części:
założenie i tezę. Wygląda to tak:
69
[ Pobierz całość w formacie PDF ]